Нарадзіўся ў сям’і фэльчара, быў старэйшым братам беларускага мэдыка і навукоўца Івана Цьвікевіча. Скончыў юрыдычны факультэт Пэтэрбурскага Ўнівэрсытэту (1912), да 1914 г. працаваў прысяжным павераным у Пружанах і Берасьці.

Пасьля пачатку Першай Сусьветнай Вайны — у бежанстве ў Туле, дзе прымаў актыўны ўдзел у працы камітэту дапамогі ахвярам вайны. У 1917 г. у Маскве стаў адным з заснавальнікаў і кіраўнікоў Беларускай Народнай Грамады.

Удзельнічаў у працы І Усебеларускага Зьезду, быў абраны сакратаром прэзыдыюму, ад бежанцаў-беларусаў уваходзіў у склад Рады зьезду.

У студзені 1918 г. Выканкам І Усебеларускага Зьезду накіраваў Аляксандра Цьвікевіча разам з С. Рак-Міхайлоўскім на мірныя перамовы ў Берасьце. Аднак не атрымаўшы дазволу ўдзельнічаць у перамовах асобнай дэлегацыяй, Цьвікевіч і Рак-Міхайлоўскі вымушаны былі ўвайсьці ў дэлегацыю УНР у якасьці дарадцаў.

У канцы сакавіка 1918 г. быў накіраваны ў Кіеў у складзе надзвычайнай дыпляматычнай місіі. Падчас дзейнасьці місіі Цьвікевіч вырашаў пытаньні беларуска-ўкраінскай мяжы, дамагаўся прызнаньня адроджанай беларускай дзяржаўнасьці і перагляду Берасьцейскага міру, вёў перамовы зь місіямі іншых дзяржаў наконт фінансавай дапамогі ўраду БНР. Пад яго кіраўніцтвам у Кіеве быў наладжаны выпуск газэты «Белорусское эхо», арганізаваная Беларуская Гандлёвая Палата.

29 траўня 1918 г. беларуская місія зьвярнулася да расейскай мірнай дэлегацыі і падала яе галаве ноту, падпісаную Цьвікевічам і М. Доўнар-Запольскім, у якой казалася пра патрэбу прызнаньня расейскім савецкім урадам незалежнасьці Беларусі.

У ліпені 1918 г. Аляксандар Цьвікевіч увайшоў у склад кіруючых органаў Беларускай Партыі Сацыялістаў-Фэдэралістаў.

Вясной 1919 г. урад БНР накіроўвае Цьвікевіча ў Бэрлін і ў Вену па вырашэньне пытаньня аб атрыманьні ўкраінскай пазыкі.

З 1921 па 1923 год Аляксандар Цьвікевіч займаў пасаду міністра замежных справаў ва ўрадзе БНР Вацлава Ластоўскага. Быў старшынём І Усебеларускай Канфэрэнцыі ў Празе, якая адбывалася ў верасьні 1921 г. На гэтай канфэрэнцыі ў яго рэдакцыі была прынята рэзалюцыя па пытаньні прыналежнасьці Вільні. У 1922 г. Цьвікевіч разам з Ластоўскім рабілі спробу ўключэньня беларускага пытаньня ў парадак дня Гэнуэскай Канфэрэнцыі.

У 1923 г. быў сфармаваны новы ўрад БНР на чале з Аляксандрам Цьвікевічам.

На ІІ Усебеларускай Канфэрэнцыі ў Бэрліне ў 1925 г., пад узьдзеяньнем посьпехаў і дасягненьняў палітыкі беларусізацыі ў БССР, Аляксандар Цьвікевіч прыняў рашэньне аб спыненьні дзейнасьці Рады Міністраў БНР і прызнаньні Менска адзіным цэнтрам нацыянальна-дзяржаўнага адраджэньня Беларусі. Рашэньне, аднак, не было падтрыманае Радай БНР як органам, вышэйшым адносна Рады Міністраў БНР.

У лістападзе 1925 г. Цьвікевіч зь сям’ёй пераехаў у Менск. Пасьля пераезду ў БССР працаваў у Наркамаце фінансаў, потым — вучоным сакратаром у Інбелкульце. З 1929 г. працаваў у Інстытуце гісторыі Беларускай Акадэміі навук.

Аляксандар Цьвікевіч: фота з савецкіх карных органаў

4 ліпеня 1930 г. быў арыштаваны, абвінавачаны па справе «Саюзу вызваленьня Беларусі». 10 красавіка 1931 г. асуджаны на 5 гадоў ссылкі. Адбываў яе ў Пярмі, Ішыме, потым Сарапуле (Удмуртыя). Паўторна арыштаваны 17 сьнежня 1937 г.

30 сьнежня 1937 г. Аляксандар Цьвікевіч быў расстраляны ў Менску.

Рэгабілітаваны па першым прысудзе 10 чэрвеня 1988 г., па другім — 31 траўня 1989 г.

Паходзіў са шляхецкага роду, пачатковую адукацыю атрымаў у сям’і. У 1908 скончыў настаўніцкую сэмінарыю ў м. Панявеж, у 1913 — Віленскі настаўніцкі інстытут. Працаваў у школе «Таварыства цьвярозасьці» ў Цельшынскім павеце Ковенскай губэрні.

З 1914 падчас 1-й сусьветнай вайны — на Румынскім фронце. Пасьля Лютаўскай рэвалюцыі 1917 абраны ў армейскі камітэт 6-ай арміі. Уваходзіў у Беларускую сацыялістычную грамаду, затым — адзін з кіраўнікоў Беларускай партыі сацыялістаў-рэвалюцыянэраў.

З восені 1917 — у Адэсе. Загаднік беларускай сэкцыі пры губэрнскім аддзеле народнай асьветы, у выніку працы якой у Адэсе напачатку 1918 навучальнага году былі адкрытыя 30 пачатковых беларускіх школ і мяшаная беларуская гімназія ў складзе першых чатырох клясаў (навучаліся дзеці ўцекачоў з прыфрантавых тэрыторыяў Беларусі).

Пасьля абвяшчэньня Беларускай Народнай Рэспублікі ў 1918 — прадстаўнік яе ўрада на Поўдні Ўкраіны і ў зносінах з францускім камандаваньнем Антанты. Быў прыхільнікам фармаваньня беларускай арміі для барацьбы з бальшавікамі. Старшыня Беларускага нацыянальнага цэнтру, які быў створаны 13 студзеня 1919. Адначасова вучыўся ў Адэскім вышэйшым міжнародным інстытуце.

З 1920 — у Менску. Працаваў у Народным камісарыяце асьветы БССР: загаднік літаратурна-выдавецкага аддзелу, старшыня навукова-тэрміналягічнай камісіі, намесьнік старшыні Акадэмічнага цэнтру, намесьнік старшыні Галоўнага кіраваньня прафэсійнай асьветы і інш.

З 1921 г. удзельнічаў у арганізацыі Інстытута беларускай культуры (Інбелкульт), у 1922—1925 — яго першы старшыня, у 1926—1928 — старшыня Аддзелу гуманітарных навук і старшыня слоўнікавай камісіі Інбелкульту. Адначасова ў 1923—1925 — выкладнік беларусазнаўства на мэдычным факультэце, з 1927 — дацэнт пэдагагічнага факультэту Беларускага дзяржаўнага ўнівэрсытэту.

З пачатку 1925 да ліпеня 1926 — на падвышэньні мовазнаўчай кваліфікацыі ў Навукова-досьленым інстытуце мовы і літаратуры пры Ленінградзкім унівэрсытэце (Расея), працаваў пад кіраўніцтвам Я. Карскага.

Уваходзіў ва ўрадавую камісію па рэарганізацыі Інбелкульта ў Акадэмію навук. З 1928 — акадэмік, віцэ-прэзыдэнт Беларускай Акадэміі навук (БелАН), адначасова з 1929 — дырэктар Інстытуту мовазнаўства БелАН, старшыня камісіі па ўкладаньні слоўніка жывой беларускай мовы, старшыня правапіснай і асьпіранцкай камісіяў. З 1 студзеня 1928 — старшыня Галоўнавукі пры Народным камісарыяце асьветы БССР. У 1927—1931 быў абраны ў Цэнтральны выканаўчы камітэт БССР.

21 ліпеня 1930 г. арыштаваны Дзяржаўным палітычным упраўленьнем (ГПУ) БССР па справе «Саюза вызваленьня Беларусі». 6 сьнежня Савет народных камісараў БССР на патрабаваньне бюро ЦК КП(б)Б пазбавіў Некрашэвіча тытула акадэміка. 10 красавіка 1931 пастановай калегіі Аб’яднанага ГПУ СССР прыгавораны да 5 гадоў высылкі ў г. Сарапул (Удмуртыя, Расея); у 1936 тэрмін высылкі прадоўжаны на 2 гады. Працаваў плянавіком-эканамістам, затым — бухгальтарам. Паўторна арыштаваны ў лістападзе 1937, дастаўлены ў Менск, 19 сьнежня 1937 Ваеннай калегіяй Вярхоўнага суда БССР прыгавораны да расстрэлу.

Рэгабілітаваны па 2-м прысудзе 12 кастрычніка 1957, адноўлены ў званьні акадэміка ў 1978, рэгабілітаваны па 1-м прысудзе 10 чэрвеня 1988.