Нарадзіўся ў фальварку Новы Двор (цяпер у межах Менску) у сям’і чорнарабочага. Скончыў гарадзкую прыходзкую вучэльню ў Менску (1897), вучыўся ў рамесьніцкай вучэльні. З 1902 году працаваў сталяром у розных майстэрнях і на мэблевай фабрыцы ў Менску.

У 1904 годзе ўступіў у партыю эсэраў і актыўна ўключыўся ў падпольную рэвалюцыйную дзейнасьць. У 1907 годзе арыштаваны. 26 лютага 1908 году Віленская судовая палата прыгаварыла Аляксандра Прушынскага да чатырох гадоў астрогу, як непаўналетняга. Аднак пракурор апратэставаў пастанову судовай палаты, і ў ліпені 1908 г. Прушынскі быў асуджаны на катаргу. 6 лістапада катарга была заменена на дзевяцігадовую высылку ў Сыбір.

Высылку паэт адбываў у Кірэнскім павеце Іркуцкай губэрні, дзе займаўся сталярнай і цясьлярнай працай. У 1914 годзе працаваў на Лене вадалівам. З 1915 году — на залатых капальнях у Бадайбо. Там у 1917 годзе сустрэў Лютаўскую рэвалюцыю, пасьля чаго быў абраны дэпутатам Савету мясцовай золатапрамысловай акругі.

У верасьні 1917 году Прушынскі вярнуўся ў Менск. У 1918 годзе, падчас нямецкай акупацыі, рэдагаваў газэту «Беларускі шлях». У 1919 годзе, пасьля заняцьця Менску палякамі, стаў сябрам Беларускай Вайсковай Камісіі. У жніўні 1919 году ўзначаліў Часовы беларускі нацыянальны камітэт, які ўключаў радных БНР.

У ліпені 1920 году, пасьля паразы палякаў на Бярэзіне, БВК зьехала зь Менску ў Ваўкавыск. Тамака Алесь Гарун захварэў, пасьля чаго санітарны цягнік вывез яго ў Кракаў. 28 ліпеня 1920 г. Алесь Гарун помер у Кракаве ад дызэнтэрыі і быў пахаваны ў Кракаве на вайсковых Ракавіцкіх могілках.

У 1947 годзе Алесь Гарун быў сярод іншых беларускіх літаратараў абвешчаны «здраднікам беларускаму народу», да 1980-х гадоў яго творы не выдаваліся.

У 1980-я закінутую магілу на Ракавіцкіх могілках адшукаў Алег Латышонак. 24 верасьня 1988 на месцы пахаваньня Гаруна быў усталяваны надмагільны помнік.

Магіла Алеся Гаруна, Кракаў